La solución de sistemas rectangulares de ecuaciones lineales utilizando ortogonalización y matrices de proyección

MARCO ANTONIO MURRAY LASSO

Resumen


EN ESTE ARTÍCULO SE PRESENTA UN NUEVO ENFOQUE PARA LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS RECTANGULARES DE ECUACIONES LINEALES. COMIENZA CON UN SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y A TRAVÉS DE CONSIDERACIONES DE ESPACIOS LINEALES OBTIENE LA SOLUCIÓN ENCONTRANDO EL ESPACIO NULO DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES. PARA LOGRARLO, SE ENCUENTRA UNA BASE ORTOGONAL PARA EL ESPACIO GENERADO POR LAS FILAS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y SE COMPLETA LA BASE PARA TODO EL ESPACIO UTILIZANDO EL PROCESO DE GRAM ""SCHMIDT DE ORTOGONALIZACIÓN. EL CASO NO"" HOMOGÉNEO SE MANEJA CONVIRTIENDO EL PROBLEMA EN UNO HOMOGÉNEO, PASANDO EL VECTOR DEL LADO DERECHO AL LADO IZQUIERDO, USANDO SUS COMPONENTES COMO COEFICIENTES DE UNA VARIABLE ADICIONAL Y RESOLVIENDO EL NUEVO SISTEMA E IMPONIENDO AL FINAL LA CONDICIÓN QUE LA VARIABLE ADICIONAL ADOPTE UN VALOR UNITARIO. SE MUESTRA QUE EL ESPACIO NULO DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES ESTÁ ÍNTIMAMENTE ASOCIADO CON LAS MATRICES DE PROYECCIÓN ORTOGONAL, LAS CUALES SE CONSTRUYEN CON FACILIDAD A PARTIR DE LA BASE ORTOGONAL UTILIZANDO DÍADAS. EL ARTÍCULO MANEJA EL MÉTODO INTRODUCIDO COMO UN MÉTODO EXACTO CUANDO LOS COEFICIENTES ORIGINALES SON RACIONALES, UTILIZANDO ARITMÉTICA RACIONAL. EL ANÁLISIS DE LA EFICIENCIA Y CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS DEL MÉTODO SE POSPONE PARA UN FUTURO ARTÍCULO. SE PROPORCIONAN EJEMPLOS NUMÉRICOS ILUSTRATIVOS EN DETALLE Y SE ILUSTRA EL USO DEL PROGRAMA MATHEMATICA PARA HACER LOS CÁLCULOS EN ARITMÉTICA RACIONAL


Palabras clave


SISTEMAS RECTANGULARES DE ECUACIONES LINEALES; PROCESO DE GRAM”SCHMIDT; MATRICES DE PROYECCIÓN ORTOGONAL; ESPACIOS VECTORIALES;RECTANGULAR SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS; GRAM ” SCHMIDT PR CESS; ORTHOGONAL PROJECTION MATRICES; LINEAR VECTOR SPACES; DYADS

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